Question

【題目】如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，,點為的中點.

（1）求證： 平面；

（2）設在線段上存在點，使二面角的大小為，求此時的長及點到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 連結AD1，交A1D于點O，由EO為△ABD1的中位線，能證明BD1∥平面A1DE;

(2) 以點D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量坐標法即可得到結果.

（1）證明：連結AD1，交A1D于點O，

∵四邊形ADD1A1為正方形，

∴O是AD1的中點，∵點E為AB的中點，連接OE．

∴EO為△ABD1的中位線，∴EO∥BD1，

又∵BD1不包含于平面A1DE，OE平面A1DE，

∴BD1∥平面A1DE．

（2）由題意可得：,以點D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，

B ( 1,2,0 ),E(1,1,0),

設

設平面的法向量為

則 得

取是平面的一個法向量，而平面的一個法向量為 要使二面角的大小為

而

解得：，故=，此時

故點E到平面的距離為