Question

如圖所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB₁＝3a，D是A₁C₁的中點，點F在線段AA₁上，當AF＝________時，CF⊥平面B₁DF.

Answer 1

a或2a

法一：由已知得B₁D⊥平面AC₁，
又CF?平面AC₁，∴B₁D⊥CF，
故若CF⊥平面B₁DF，則必有CF⊥DF.
設AF＝x(0＜x＜3a)，則CF²＝x²＋4a²，
DF²＝a²＋(3a－x)²，又CD²＝a²＋9a²＝10a²，
∴10a²＝x²＋4a²＋a²＋(3a－x)²，
解得x＝a或2a.
法二：分別以BA、BC、BB₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系B－xyz，
則B(0,0,0)，B₁(0,0,3a)，設F(a,0，m)，D，C(0，a,0)，
＝(a，－a，m)，＝，＝(a,0，m－3a)，
∵CF⊥面B₁DF，∴CF⊥B₁F，⊥，即·＝0，·＝0，
可得2a²＋m(m－3a)＝0，解得m＝a或2a.