Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，點在橢圓上.

（1）設點到直線的距離為，證明：為定值；

（2）若是橢圓上的兩個動點（都不與重合），直線的斜率互為相反數，求直線的斜率（結果用表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）點在橢圓上，得，化簡，即可證明；（2）當時，則，直線的斜率一定存在.

設，直線的斜率為，則的方程為，即，與橢圓的方程，聯立組成方程組，消去，由韋達定理得同理得，，即可求得的值

（1）由已知，得，所以，即

因為點在橢圓上，所以，即

又

所以為定值.

（2）當時，則，直線的斜率一定存在.

設，直線的斜率為，則的方程為，即，與橢圓的方程，聯立組成方程組，消去，

整理得

由韋達定理，得，于是

根據直線的斜率為，將上式中的用代替，

得

于是

注意到得，于是

因此，直線的斜率為