Question

【題目】已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn).

若直線垂直平分弦，求實(shí)數(shù)的值；

已知點(diǎn)，在直線上（為圓心），存在定點(diǎn)（異于點(diǎn)），滿足：對于圓上任一點(diǎn)，都有為同一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)及該常數(shù).

Answer 1

【答案】；在直線上存在定點(diǎn)使得為常數(shù).

【解析】

化簡圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的半徑，轉(zhuǎn)化求解實(shí)數(shù)的值；

設(shè)直線上的點(diǎn)，取直線與圓的交點(diǎn)，則，

取直線與圓的交點(diǎn)，則，然后求解存在這樣的定點(diǎn)，進(jìn)而求證結(jié)論.

解：依題意，圓C方程變形為，圓心，半徑

又直線l的方程即為

因?yàn)?/span>垂直平分弦，圓心必在直線上

過點(diǎn)和，斜率，

設(shè)直線上的點(diǎn)取直線與圓的交點(diǎn)，則

取直線與圓的交點(diǎn)，則.

令，解得或（舍去，與重合），此時(shí)

若存在這樣的定點(diǎn)滿足題意，則必為

下證：點(diǎn)滿足題意.設(shè)圓上任意一點(diǎn)，則

綜上可知，在直線上存在定點(diǎn)使得為常數(shù).