Question

已知函數，是否存在實數a、b、c，使同時滿足下列三個條件：（1）定義域為R的奇函數；（2）在上是增函數；（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由.

Answer 1

試題分析：先利用函數是定義域為的奇函數，利用以及定義求出的值以及確定與的關系，然后利用復合函數的單調性將問題轉化為內層函數在上是增函數進行處理，結合導數來解決，由此確定的正負，最后在根據上一步的結論并根據函數的最大值為求出與的值，從而使問題得到解答.
試題解析：是奇函數               3分
又，即，
∴．
∴或，但時，，不合題意；故． …6分
這時在上是增函數，且最大值是1．
設在上是增函數，且最大值是3．
，
當時，故；     8分
又當時，；當時，；
故，又當時，，當時，．
所以在是增函數，在（－1，1）上是減函數．       10分
又時，時最大值為3．   11分
∴經驗證：時，符合題設條件，
所以存在滿足條件的a、b、c，即                14分