Question

甲、乙兩個盒子中裝有大小相同的小球，甲盒中有2個黑球和2個紅球，乙盒中有2個黑球和3個紅球，從甲、乙兩盒中各取一球交換．
（I）求交換后甲盒中黑球多于乙盒中黑球的概率；
（II）設交換后甲盒中黑球的個數為ξ，求ξ數學期望．

Answer 1

分析：（I）交換后甲盒中黑球多于乙盒中黑球，表示從乙盒中拿出的是一個黑球，從甲和中拿出的是一個紅球，根據這兩個事件是相互獨立的，根據相互獨立事件的概率得到結果．
（II）由題意知交換后甲盒中黑球的個數為ξ，ξ的可能取值是1，2，3，結合變量對應的事件，寫出分布列，在變量等于2時要注意包含兩種情況，一是從兩個盒子中各拿一個紅球，二是各拿一個黑球，這兩種情況是互斥的．

解答：解：（I）甲盒中有2個黑球和2個紅球，乙盒中有2個黑球和3個紅球，
從甲、乙兩盒中各取一球交換．交換后甲盒中黑球多于乙盒中黑球，
表示從乙盒中拿出的是一個黑球，從甲和中拿出的是一個紅球，
根據這兩個事件是相互獨立的，
∴P=

2

4

×

2

5

=

1

5

（II）由題意知交換后甲盒中黑球的個數為ξ，ξ的可能取值是1，2，3
P（ξ=1）=

1

2

×

3

5

=

3

10

，
P（ξ=2）=

1

2

×

2

5

+

1

2

×

3

5

=

1

2

P（ξ=3）=1-

3

10

-

1

2

=

1

5

，
∴Eξ=1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

5

=11.9

點評：本題考查相互獨立事件的概率，考查離散型隨機變量的分布列和期望，是一個近幾年經常考到的問題，注意本題的解題格式．