Question

【題目】已知圓的圓心為，點是圓內一個定點，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）給定點，設直線不經過點且與軌跡相交于，兩點，以線段為直徑的圓過點.證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據垂直平分線的性質以及橢圓的定義，即可得出動點的軌跡的方程；

（2）根據圓的性質得出，再將垂直關系轉化為，討論直線斜率的存在性，設出直線的方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理以及，得出，從而確定直線過定點.

（1）如圖，由已知，圓心，半徑.

∵點在線段的垂直平分線上，則

又，∴

又∵，∴

則動點的軌跡是以，為焦點，長軸長的橢圓

從而，，，

故所求軌跡方程為.

（2）由已知，，則，

若的斜率不存在，設，由題設知，且

此時，，，，

則，解得，不符合題設.

若的斜率存在，設

將代入得

由題設可知

設，，則，

，，從而

即

化簡得，解得（舍去）或

此時成立，于是

故直線過定點.