Question

【題目】已知函數f（x）=ex（其中e為自然對數的底數），g（x）= x+m（m，n∈R）．

（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在[0，1]上的最大值；

（2）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方的最大正整數n．[注意：7＜e2＜]．

Answer 1

【答案】（1）當時最大值為；當時最大值為 （2）14

【解析】試題分析：

(1)首先求得函數的解析式，然后利用導函數研究函數的最值可得當時最大值為 ；當時最大值為 ；

(2)將問題轉化為 恒成立，討論可得最大正整數n為14．

試題解析：

解：（1）T（x）=f（x）g（x）

=ex（x+m）=ex（x+1﹣）；

故T′（x）=ex（x+1）；

則當n≥﹣2時，T′（x）≥0；

故T（x）在[0，1]上的最大值為T（1）=e；

當n＜﹣2時，x∈[0，﹣）時，T′（x）＞0；x∈（﹣，1]時，T′（x）＜0；

T（x）在[0，1]上的最大值為T（﹣）=﹣；

（2）由題意，f（x）=ex，g（x）=x﹣；

故f（x）的圖象恒在g（x）圖象上方可化為

F（x）=f（x）﹣g（x）=ex﹣x+＞0恒成立；F′（x）=ex﹣；

故F（x）在（﹣∞，ln）上是減函數，在（ln，+∞）上是增函數；

故可化為F（ln）＞0；即（1﹣ln）+＞0；

令G（n）=（1﹣ln）+；故G′（n）=﹣（ln+1）＜0；

故G（n）=（1﹣ln）+是[1，+∞）上的減函數，

而G（2e2）=﹣e2+＞0；G（14）=7（1﹣ln7）+＞0；

G（15）=7.5（1﹣ln7.5）+＜0；故最大正整數n為14．