Question

【題目】已知雙曲線的焦點在軸上，虛軸長為4，且與雙曲線有相同漸近線.

（1）求雙曲線的方程.

（2）過點的直線與雙曲線的異支相交于兩點，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根據有相同的漸近線可設所求雙曲線為，再利用焦點位置及虛軸長即可求出雙曲線方程（2）根據題意知直線不能為x軸，設直線方程為，聯立雙曲線方程，根據直線與雙曲線的位置關系及三角形面積公式可求出m,寫出直線方程即可.

（1）與雙曲線有相同漸近線，

設所求雙曲線為，

即，

焦點在軸上，虛軸長為4，

，解得，

故雙曲線的方程為

（2）由題意知直線斜率不為0，

設直線方程為，

聯立,

消元得：，

直線與雙曲線的異支相交于兩點，

，

設，

則，

且，即，

，

，

，

，

,

化簡得：，

，

令,

則，

得：或，

由，即知，不符合題意，

，即

解得：，

此時滿足，,

故所求直線方程為或.