Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）若，，且存在不相等的實數，使得，求證且．

Answer 1

【答案】（1）函數單調性見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）分別在和兩種情況下討論導函數的正負，進而得到函數的單調性；

（2）當時，可通過放縮知，知其不符合題意，得到；由和時，可得到，將所證不等式化為，令，利用導數可求得，進而證得結論.

（1）由題意得：定義域為，，

令，則，

①當，即時，，，

在上單調遞增；

②當，即時，

令，解得：，，

當時，，

當和時，；當時，，

在，上單調遞增，在上單調遞減；

當時，，在上恒成立，

在上單調遞增；

綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減.

（2）由題意得：，則；

當時，，

在上單調遞增，與存在不相等的實數使得相矛盾，

.

由得：，

，

不妨設，

令，則，

在上單調遞增，，即，

，

，，

欲證，只需證，只需證，

即證，

令，則只需證，即證，

令，

則，

在上單調遞減，，從而得證，

.