Question

【題目】設函數．

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求函數的單調區間；

（3）在（2）的條件下，設函數，若對于，，使成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2．（2）單調遞增區間為（1，2）；單調遞減區間為（0，1）和（2，+∞）．（3）．

【解析】

（1）將a＝2代入，對其求導，可得，的值，可得f（x）在x＝1處的切線方程；；

（2）將代入，對其求導，由導數性質可得函數f（x）的單詞區間；

（3）由（2）可得的最小值為，又，

分，，三種情況討論，結合對，，使成立，可得b的取值范圍.

解：（1）將a＝2代入函數，可得

可得：，，，

故曲線f（x）在x＝1處的切線方程為y＝﹣2．

（2），

令可得1＜x＜2；

令可得0＜x＜1或x＞2；

因此f（x）的單調遞增區間為（1，2）；

單調遞減區間為（0，1）和（2，+∞）．

（3）f（x）在（1，2）上單調遞增，因此f（x）的最小值為f（1）．

又g（x），

①當b＜0時，g（x）在[0，1]上單調遞增，則矛盾．

②當0≤b≤1時，，得．

③當b＞1時，，解得b＞1．

因此，綜上所述b的取值范圍是．