Question

已知函數f(x)=-x+3x+9x+a
⑴求f(x)的單調遞減區間；⑵若f(x)在區間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區間上的最小值。

Answer 1

（1）遞減區間：（-，-1），（3，+）
（2）最小值是-7

解析試題分析：解：（I）f′（x）=-3x²+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜-1或x＞3，所以函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，-1），（3，+∞）
（II）因為f（-2）=8+12-18+a=2+a，f（2）=-8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（-2）．因為在（-1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[-1，2]上單調遞增，又由于f（x）在[-2，-1]上單調遞減，因此f（2）和f（-1）分別是f（x）在區間[-2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=-2．故f（x）=-x³+3x²+9x-2，因此f（-1）=1+3-9-2=-7，即函數f（x）在區間[-2，2]上的最小值為-7
考點：導函數的正負與原函數的單調性
點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．以及在閉區間上的最值問題等基礎知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力．