Question

已知f'（x）是f（x）的導數，記f^（1）（x）=f'（x），f^（n）（x）=（f^（n-1）（x））'（n∈N，n≥2），給出下列四個結論：
①若f（x）=xⁿ，則f^（5）（1）=120；
②若f（x）=cosx，則f^（4）（x）=f（x）；
③若f（x）=e^x，則f^（n）（x）=f（x）（n∈N⁺）；
④設f（x）、g（x）、f^（n）（x）和g^（n）（x）（n∈N⁺）都是相同定義域上的可導函數，h（x）=f（x）•g（x），則h^（n）（x）=f^（n）（x）•g^（n）（x）（n∈N⁺）．
則結論正確的是

①②③

（多填、少填、錯填均得零分）．

Answer 1

分析：根據導數的運算法則逐個命題判斷即可得到結論．

解答：解：①中，由f（x）=xⁿ，得f^（5）（1）=5×4×3×2×1=120，故①正確；
②中，f^（1）（x）=f′（x）=-sinx，f^（2）（x）=-cosx，f^（3）（x）=sinx，f^（4）（x）=cosx=f（x），故②正確；
③中，由于f（x）=e^x，所以f^（1）（x）=e^x，f^（2）（x）=e^x，…，f^（n）（x）=e^x=f（x），故③正確；
④中，令f（x）=x，g（x）=1，則h（x）=x，
而h^（1）（x）=1，f^（1）（x）•g^（1）（x）=0，所以h^（1）（x）≠f^（1）（x）g^（1）（x），故④錯誤；
故答案為：①②③．

點評：本題考查導數的運算性質，考查學生的運算能力，屬基礎題．