Question

已知f（x）是定義在R上的可導函數，對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（x）＞f′（x）•lnx^x，則f（2）與f（e）•ln2的大小關系是（　　）

A．f（2）＞f（e）?ln2

B．f（2）=f（e）?ln2

C．f（2）＜f（e）?ln2

D．不能確定

Answer 1

分析：分析題中要比較的兩個式子的特點，考查函數F（x）=

f(x)

lnx

，其F′（x）=

f′(x)lnx-f(x)• 1 x

ln 2x

=

[x•f′(x)lnx-f(x)] 1 x

ln 2x

結合條件知其F′（x）＜0，得出F（x）在（0，+∞）是減函數，從而得到F（e）＜F（2）即可得出答案．

解答：解：考察函數F（x）=

f(x)

lnx

，
則F′（x）=

f′(x)lnx-f(x)• 1 x

ln 2x

=

[x•f′(x)lnx-f(x)] 1 x

ln 2x

，
∵對任意x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（x）＞f′（x）•lnx^x，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）是減函數，
∴F（e）＜F（2）即

f(e)

lne

＜

f(2)

ln2

∴f（2）＞f（e）•ln2．
故選A．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數的單調性與導數的關系、不等關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．