Question

（2013•湛江二模）已知三角形ABC的三個頂點的坐標分別為A（3，2），B（1，3），C（2，5），l為BC邊上的高所在直線．
（1）求直線l的方程；
（2）直線l與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于D、E兩點，△CDE是以C（2，5）為直角頂點的等腰直角三角形，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）利用相互垂直的直線的斜率之間的關系即可得到k_l，再利用點斜式即可得出；
（2）利用等腰三角形的性質可得底邊DE的中點F的坐標，下面轉化為中點弦的問題，把直線l的方程與橢圓的方程聯立及利用根與系數的關系即可得出．

解答：解：（1）k_BC=2，因為l為BC邊上的高所在直線，∴l⊥BC，∴k_l•k_BC=-1，解得kl=-

1

2

，
直線l的方程為：y-2=-

1

2

（x-3），即：x+2y-7=0
（2）過C作CF⊥DE，依題意，知F為DE中點，直線CF可求得為：2x-y+1=0．
聯立兩直線方程可求得：F（1，3），
由橢圓方程與直線ED聯立方程組，
可得：（a²+4b²）y²-28b²y+49b²-a²b²=0y1+y2=

28b2

a2+4b2

=6，化為b2=

3

2

a2，
又CF=

5

，所以，|DE|=2

5

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=2

5

，即

5(y2-y1)2

=2

5

，
所以，(y2+y1)2-4y1y2=4，即36-4

49b2-a2b2

a2+4b2

=4，解得：a2=

35

3

，b2=

35

2

，
所以，所求方程為：

x2

35 3

+

y2

35 2

=1

點評：本題綜合考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、等腰三角形的性質、中點問題、相互垂直的直線斜率之間的關系等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．