Question

【題目】已知函數f（x）= x2﹣ax+（3﹣a）lnx，a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x﹣y+1=0垂直，求a的值；
（2）設f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求證：﹣5﹣f（x1）＜f（x2）＜﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= ，∴f′（1）=4﹣2a，

由題意4﹣2a=﹣ ，解得：a=

（2）解：證明：由題意，x1，x2為f′（x）=0的兩根，

∴ ，∴2＜a＜3，

由x1+x2=a＞2，x1x2=3﹣a＜1，知x1＜1＜x2，

結合單調性有f（x2）＜f（1）= ﹣a＜﹣ ，

又f（x1）+f（x2）= （ + ）﹣a（x1+x2）+（3﹣a）lnx1x2=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），

設h（a）=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），

則h′（a）=﹣a﹣ln（3﹣a），

h″（a）= ＞0，故h′（a）在（2，3）遞增，又h′（2）=﹣2＜0，

a→3時，h′（a）→+∞，

∴a0∈（2，3），當a∈（2，a0）時，h（a）遞減，當a∈（a0，3）時，h（a）遞增，

∴h（a）min=h（a0）=﹣ +a0﹣3+（3﹣a0）（﹣a0）= ﹣2a0﹣3＞﹣5，

∴a∈（2，3），h（a）＞﹣5，

綜上，﹣5﹣f（x1）＜f（x2）＜﹣

【解析】（1）求出函數的導數，根據f′（1）的值，求出a的值；（2）根據x1 ， x2是方程f′（x）=0的根，得到關于a的不等式組，求出a的范圍，求出f（x1）+f（x2）的表達式，設h（a）=﹣ a2+a﹣3+（3﹣a）ln（3﹣a），a∈（2，3），根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．