Question

【題目】已知α∈[0，π），在直角坐標系xOy中，直線l1的參數方程為 （t為參數）；在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l2的極坐標方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．
（Ⅰ）求證：l1⊥l2
（Ⅱ）設點A的極坐標為（2， ），P為直線l1 ， l2的交點，求|OP||AP|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：直線l1的參數方程為 （t為參數）；

消去參數t可得：直線l1的普通方程為：xsinα﹣ycosα=0．

又直線l2的極坐標方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．展開為ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+ ）．

即直線l2的直角坐標方程為：xcosα+ysinα﹣2sin（α+ ）=0．

因為sinαcosα+（﹣cosα）sinα=0，

根據兩直線垂直的條件可知，l1⊥l2．

（Ⅱ）當ρ=2， 時，ρcos（θ﹣α）=2cos =2sin（α+ ）．

所以點A（2， ），在直線ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）上．

設點P到直線OA的距離為d，由l1⊥l2可知，d的最大值為 =1．

于是|OP||AP|=d|OA|=2d≤2

所以|OP||AP|的最大值為2

【解析】（Ⅰ）直線l1的參數方程為 （t為參數）；消去參數t可得：直線l1的普通方程．又直線l2的極坐標方程是ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．展開為ρcosθcosα+ρsinθsinα=2sin（α+ ）．利用互化公式可得直線l2的直角坐標方程，根據兩直線垂直的條件即可證明：l1⊥l2．（Ⅱ）當ρ=2， 時，滿足方程ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）．可得點A（2， ），在直線ρcos（θ﹣α）=2sin（α+ ）上．設點P到直線OA的距離為d，由l1⊥l2可知，d的最大值為 =1．即可得出|OP||AP|=d|OA|=2d最大值．