Question

【題目】已知數列{an}為等差數列，a3=5，a7=13，數列{bn}的前n項和為Sn ， 且有Sn=2bn﹣1．
（1）求{an}、{bn}的通項公式；
（2）若cn=anbn ， {cn}的前n項和為Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵{an}是等差數列，且a3=5，a7=13，設公差為d．

∴ ，解得

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）

在{bn}中，∵Sn=2bn﹣1

當n=1時，b1=2b1﹣1，∴b1=1

當n≥2時，由Sn=2bn﹣1及Sn﹣1=2bn﹣1﹣1，

得bn=2bn﹣2bn﹣1，∴bn=2bn﹣1

∴{bn}是首項為1公比為2的等比數列

∴ （n∈N*）

（2）解：∵ ，

∴ ① ②

①﹣②得

=

=1+4（2n﹣1﹣1）﹣（2n﹣1）2n=﹣3﹣（2n﹣3）2n

∴ （n∈N*）

【解析】（1）由已知條件利用等差數列的通項公式能求出首項和公差，由此能求出an=2n﹣1（n∈N*）；由Sn=2bn﹣1，能推導出{bn}是首項為1公比為2的等比數列，由此求出 （n∈N*）．（2）由 ，利用錯位相減法能求出{cn}的前n項和為Tn ．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和等差數列的性質的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列才能正確解答此題．