Question

下列說法：
①函數y=

x-1

x+1

圖象的對稱中心是（1，1）；
②“x＞2是x²-3x+2＞0”的充分不必要條件；
③對任意兩實數m，n，定義定點“*”如下：m*n=

m  若m≤n n  若m＞n

，則函數f（x）=log

1

2

(3x-2)*log2x的值域為（-∞，0]；
④若函數f（x）=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax      (x≥1)

對任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，則實數a的取值范圍是（-

1

7

，1]，
其中正確命題的序號為

②③

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是判斷命題的真假，綜合考查了函數的對稱性，單調性，和值域問題，對每一個命題判斷時，正確理解題意，結合函數性質，就可以得到正確結論．

解答：解：y=

x-1

x+1

=

x+1-2

x+1

=1-

2

x+1

，∵y=

1

x

的對稱中心為（0，0），∴y=1-

2

x+1

的對稱中心為（-1，1），故①不正確．
x²-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

，當x＞2時，x-

3

2

＞

1

2

，(x-

3

2

)2＞

1

4

，∴x²-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

＞0，∴x＞2 是x²-3x+2＞0的充分條件，由x²-3x+2＞0得x＜1或x＞2，故由x²-3x+2＞0不一定推得x＞2，∴是不必要的條件，故②正確．
f（x）=lo

g	(3x-2) 1 2

*lo

g

x 2

=lo

g

1 3x-2 2

*lo

g

x 2

定義域為{x|x＞

2

3

}，由m*n=

m  若m≤n n  若m＞n

知f（x）=

lo g x 2 若 2 3 ＜x≤1 lo g 1 3x-2 2 若  x＞1

，解得f（x）∈（-∞，0]，故③正確．
對任意的x₁≠x₂都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0知f（x）為定義域上的減函數，要使f（x）=

(3a-1)x+4a(x＜1) logax      (x≥1)

在定義域內為減函數，則

3a-1＜0 (3a-1)×1+4a≥0 0＜a＜1

，解得

1

7

≤a＜

1

3

，故④不正確．
故答案為②③．

點評：分式函數的對稱中心一般可通過反比例的函數的對稱中心平移得到；命題④分段函數在定義域內是減函數要注意保證x＜1時的最小值要大于  x≥1時得最大值．