Question

【題目】已知函數f（x）=sinx﹣xcosx（x≥0）．
（1）求函數f（x）的圖象在 處的切線方程；
（2）若任意x∈[0，+∞），不等式f（x）＜ax3恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）設m=f（x）dx， ，證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）=xsinx， ，

∴切線為 ；

（2）解：f（x）≤ax3sinx﹣xcosx﹣ax3≤0，

令g（x）=sinx﹣xcosx﹣ax3，

則g′（x）=xsinx﹣3ax2=x（sinx﹣3ax），

又令h（x）=sinx﹣3axh′（x）=cosx﹣3a，

①當3a≤﹣1，即 時，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）遞增，

∴h（x）≥h（0）=0，∴g′（x）≥0，∴g（x）遞增，

∴g（x）≥g（0）=0（不合題意）；

②當3a≥1即 時，h′（x）≤0h（x）遞減，

∴h（x）≤h（0）=0，∴g′（x）≤0，∴g（x）遞減

∴g（x）≤g（0）=0（符合題意）

③當﹣1＜3a＜1，即 時，

由h′（0）=1﹣3a＞0h′（π）=﹣1﹣3a＜0，

∴在（0，π）上，x0，使h′（x0）=0

且x∈（0，x0）時，h′（x）＞0g′（x）＞0，

∴g（x）遞增，∴g（x）＞g（0）=0（不符合題意）

綜上： ．

（3）解：

∴ ，由（1）知，當 時， ，∴g（x）≤x，

又令μ（x）=ln（1+x）﹣x，x＞0 ，

∴u（x）遞減u（x）＜u（0）=0，

即ln（1+x）＜x在（0，+∞）上恒成立，

令 ，

∴原不等式 ，

∴左式 =右式

∴得證．

【解析】（1）求出函數的導數，計算f′（ ）的值，求出切線方程即可；（2）令g（x）=sinx﹣xcosx﹣ax3，求出函數的導數，令h（x）=sinx﹣3ax，通過討論a的范圍，結合函數的單調性求出a的范圍即可；（3）求出g（x）的解析式，求出ln（1+x）＜x在（0，+∞）上恒成立，令 ，累加即可．
【考點精析】利用函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．