Question

【題目】如圖，在三棱錐中，為棱上的任意一點，分別為所在棱的中點.

（1）證明：平面；

（2）若平面，，，，當二面角的平面角為時，求棱的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】分析：（1）要證BD//平面FGH，可先證平面ABP//平面FGH，而這由中位線定理易得線線平行，從而有線面平行，再得面面平行；

（2）可以C為原點，CB為x軸，CP為z軸，建立如圖的空間直角坐標系，設，寫出點的坐標，求得兩平面CGF和平面HGF的法向量，由法向量夾角與二面角的關系可求得，從而得PC的長.

詳解：（1）證明：因為分別為的中點，

所以，且平面，

平面，所以平面.

又因為分別為的中點，所以有，平面，

且平面，所以平面.

又因為，所以平面平面.

因為平面，所以平面.

（2）解：在平面內過點作，如圖所示，以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

由為等腰直角三角形知，又，，所以有平面.

設，則，，

所以為平面的一個法向量.

又，，所以，，

設為平面的一個法向量，則有，

即有，所以可取.

由，得，從而.

所以棱的長為2.