Question

【題目】若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x﹣1）=f（x+1）．且當x∈[﹣1，0]時，f（x）=﹣x2+1，如果函數g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8個零點，則實數a的值為 ．

Answer 1

【答案】8﹣2
【解析】解：由f（x+1）=f（x﹣1），則f（x）=f（x﹣2），故函數f（x）為周期為2的周期函數．
∵函數g（x）=f（x）﹣a|x|恰有8個零點，
∴f（x）﹣a|x|=0在（﹣∞，0）上有四個解，
即f（x）的圖象（圖中黑色部分）與直線y=a|x|（圖中紅色直線）在（﹣∞，0）上有4個交點，
如圖所示：
又當x∈[﹣1，0]時，f（x）=﹣x2+1，
∴當直線y=﹣ax與y=﹣（x+4）2+1相切時，即可在（﹣∞，0）上有4個交點，
∴x2+（8﹣a）x+15=0，∴△=（8﹣a）2﹣60=0．
∵a＞0，∴a=8﹣2 ．
所以答案是：8﹣2 ．