Question

【題目】已知函數 .
（1）討論 的單調性；
（2）若 有兩個極值點 ， ，證明： .

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 的定義域為 . .
，方程 的判別式 .
①當 時， ，∴ ，故函數 在 上遞減；
②當 時， ，由 可得 ， .

函數 的減區間為 ；增區間為 .
所以，當 時， 在 上遞減；當 時， 在 上遞增，在 上遞減
（2）解：由 （1）知當 時，函數 有兩個極值點 ，且 .


設 ，則 ， ，
所以 在 上遞增， ，
所以 .
【解析】（1）根據題目中所給的條件的特點，先求出函數的導數，通過分類討論a的值，確定導函數的符號，利用導數研究函數的單調性，從而判斷函數的單調性；
（2）表示出f（x1）+f（x2），通過利用導數求閉區間上函數的最值進行證明．導數和函數的單調性的關系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間．