Question

已知函數f（x）=（x+2）|x-a|
（1）當a=2時，解不等式f（x）＞3x；
（2）當x∈[-1，1]時，f（x）＜3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用零點分段法，將絕對值符合化去，解所得不等式即可；
（2）當x∈[-1，1]時，f（x）＜3．即（x+2）|x-a|＜3，即2-

3

x+2

＜a＜2+

3

x+2

，令gg（x）=2-

3

x+2

，hh（x）=2+

3

x+2

，則有g（x）_max＜a＜h（x）_min，故可得出答案．

解答：解：（1）當a=2時，不等式f（x）＞3x可化為（x+2）|x-2|＞3x
當x≥2時，原不等式可化為（x+2）（x-2）＞3x，即x²-3x-4＞0
解得：x＜-1，或x＞4
∴x＞4
當x＜2時，原不等式可化為（x+2）（-x+2）＞3x，即x²+3x-4＜0
解得：-4＜x＜1
∴-4＜x＜1
綜上所述不等式f（x）＞3x的解集為（-4，1）∪（4，+∞）
（2）當x∈[-1，1]時，f（x）＜3恒成立，
即當x∈[-1，1]時，（x+2）|x-a|＜3恒成立，
即當x∈[-1，1]時，|x-a|＜

3

x+2

恒成立，
即當x∈[-1，1]時，2-

3

x+2

＜a＜2+

3

x+2

令gg（x）=2-

3

x+2

，hh（x）=2+

3

x+2

，x∈[-1，1]
則有g（x）_max＜a＜h（x）_min．
由gg（x）=2-

3

x+2

在[-1，1]上單調遞增，可得g（x）_max=g（1）=1
又hh（x）=2+

3

x+2

在[-1，1]上單調遞減，故h（x）_min=h（-1）=5
所以1＜a＜5
即實數a的取值范圍為（1，5）

點評：本題以函數為載體，考查解不等式，考查了函數恒成立問題，有一定的難度