Question

在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N（70，100）．已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名．
（Ⅰ）試問此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？
（Ⅱ）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可共查閱的（部分）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表Φ（x₀）=P（x＜x₀）

Answer 1

分析：（I）設(shè)出參賽人數(shù)的分?jǐn)?shù)，根據(jù)分?jǐn)?shù)符合正態(tài)分布，根據(jù)成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名，列出大于90分的學(xué)生的概率，成績在90分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，列出比例式，得到參賽的總?cè)藬?shù)．
（II）設(shè)出設(shè)獎的分?jǐn)?shù)，根據(jù)獲獎的人數(shù)和總體的人數(shù)得到獲獎的概率，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查出0.9049對應(yīng)的x₀，根據(jù)得

x-70

10

≈1.31，得到x的值是83.1，即設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為83．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為ξ，因為ξ～N（70，100），
由條件知，P（ξ≥90）=1-P（ξ＜90）=1-φ（90）
=1-Φ(

90-70

10

)=1-Φ（2）=1-0.9772=0.228．
這說明成績在90分以上（含90分）的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，
∴參賽總?cè)藬?shù)約為

12

0.0228

≈526（人）．
（Ⅱ）假定設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線為x分，則
P（ξ≥x）=1-P（ξ＜x）=1-φ（90）=1-Φ(

x-70

10

)=

50

526

=0.0951，
即Φ(

x-70

10

)=0.9049，查表得

x-70

10

≈1.31，
解得x=83.1．
故設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為83．

點評：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的應(yīng)用，是一個實際應(yīng)用問題，這種情景經(jīng)常出現(xiàn)在我們的生活中．