Question

在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布N(70,100).已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名.

（1）試問此次參賽的學生總數約為多少人？

（2）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數線約為多少分？

可供查閱的（部分）標準正態分布表φ(x₀)=p(x＜x₀)

x0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9915
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9278	0.9292	0.9306	0.9316
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9762	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9380	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857

Answer 1

思路解析：本小題主要考查正態分布，對獨立事件的概念和標準正態分布的查閱，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力.

解：（1）設參賽學生的分數為ξ，因為ξ～N(70,100),由條件知，

P(ξ≥90)=1-P（ξ＜90）=1-F(90)=1-φ()=1-φ(2)=1-0.977 2=0.228.

這說明成績在90分以上（含90分）的學生人數約占全體參賽人數的2.28％，因此，參賽總人數約為≈526（人）.

（2）假定設獎的分數線為x分，則

P(ξ≥x)=1-P（ξ＜x）=1-F(x)=1-φ(x-)==0.095 1，

即φ()=0.904 9，查表得≈1.31，解得x=83.1.

故設獎得分數線約為83.1分.