Question

【題目】已知函數 ,
（Ⅰ）證明： 為奇函數；
（Ⅱ）判斷 單調性并證明；
（III）不等式 對于 恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）由 ，可證得函數為奇函數；（2）該函數為反比例型函數，利用單調性定義可證得函數在 上為增函數。（3）利用函數的奇偶性和單調性，不等式可轉化為 恒成立，可求得 的取值范圍。

（Ⅰ） ， 為奇函數．

（II） 在R上為增函數．

,

在R內任取 ，

則 ，

，

．

在R上為增函數．

（III） ,

又 在R上為增函數,

恒成立， ，

即 時， ，

，解得 ．

【解析】【分析(1)根據函數的奇偶性可知 f ( x ) = f ( x ) ，得出函數為奇函數。(2)根據函數的單調性的定義即可得證。(3)結合函數的奇偶性和單調性可得 x t ≥ t2 x 2 恒成立， x ∈ [ 1 , 2 ] ，整理上式借助二次函數在指定區間上的最值得到 ( x2 + x ) nim ≥ t 2 + t 即為t2 + t ≤ 2 解出即可。