Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）求證：當時， ；

（Ⅲ）若對任意恒成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）1．

【解析】試題分析：

(1)對函數求導，利用導數研究函數的切線方程即可；

(2)令 ，問題轉化為證明 ,證得 即可.

(3)令 ，討論函數 的性質結合恒成立的性質即可求得最終結果.

試題解析：

（Ⅰ）， ，

又，所以切線方程為；

（Ⅱ）由題意知，令 ．

令，解得．

易知當時， ，易知當時， ．

即在單調遞減，在單調遞增

所以，

即，即．

（Ⅲ）設，依題意，對于任意， 恒成立．

，

時， ， 在上單調遞增，

當時， ，滿足題意．

時，隨變化， ， 的變化情況如下表：

	—	0	+
	↘	極小值	↗

在上單調遞減，所以

即當時，總存在，不合題意．

綜上所述，實數的最大值為1．