Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為梯形，，，且．

（Ⅰ）若點為上一點且，證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得?若存在，求出的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證線面平行，就要證線線平行，由線面平行的性質定理知平行線是過的平面與平面的交線，由已知過點作，交于,連接,就是要找的平行線；（Ⅱ）求二面角，由于圖中已知兩兩垂直，因此以它們為坐標軸建立空間直角坐標系，可用向量法求得二面角，只要求得兩個面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補可得（需確定二面角是銳二面角還是鈍二面角）；（3）有了第（2）小題的空間直角坐標系，因此解決此題時，假設存在點，設，由求得即可．

試題解析：（Ⅰ）過點作，交于,連接,

因為，所以．

又，，所以．

所以為平行四邊形, 所以．

又平面，平面,（一個都沒寫的，則這1分不給）

所以平面．

（Ⅱ）因為梯形中，，,所以．

因為平面，所以,

如圖，以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系,

所以．

設平面的一個法向量為，平面的一個法向量為,

因為

所以，即，

取得到,

同理可得,

所以,

因為二面角為銳角，

所以二面角為．

（Ⅲ）假設存在點，設，

所以,

所以，解得，

所以存在點，且．