Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程是．

（）如果圓與直線沒有公共點，求實數的取值范圍；

（）如果圓過坐標原點，過點直線與圓交于， 兩點，記直線的斜率的平方為，對于每一個確定的，當的面積最大時，用含的代數式表示，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由可得，圓與直線無公共點，

∴，即，所以；（2）圓過坐標原點，可得，圓方程為，圓心，半徑為，設直線的方程為，∴當最大時， 取最大值．只需點到直線的距離，可得或，對討論兩種情況，可得，兩段分別求出最大值，較大的就是的最大值

試題解析：（ ）由可得，

∵，表示圓，

，即，

又∵圓與直線無公共點，

∴，即，

綜上， ．

（）∵圓過坐標原點，

∴，圓方程為，

圓心，半徑為，

當時，直線經過圓心，

不存在，故．

由題意設直線的方程為，

的面積為，

則，

∴當最大時， 取最大值．

當，只需點到直線的距離等于，

即．

整理得： ，

解出或．

①當時， 最大值為，

此時，即．

②當時， ，

∵是上的減函數，

∴當最小時， 最大，

過作于點，則，

∴當最大時， 最小，

∵，且，

∴當最大時， 取得最大值，即最大，

∵，

∴當時， 取得最大值，

∴當面積最大時，直線的斜率，

∴，

綜上， ，

∴當時， ，

當或時， 取得最大值，

當時， ．

∴綜上所述， ．