Question

(1)求證：函數y=f(x)的圖象關于點（0.5，－0.5）對稱； 
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值;

Answer 1

（1）見解析（2）-3（3）見解析

(1)設P(x,y)是y=f(x)的圖象上任意一點，
關于(0.5，－0.5)對稱點的坐標為:(1-x,-1-y)


∴－1-ｙ＝f（1－ｘ），即函數ｙ＝f（ｘ）的圖象關于點（0.5，－0.5）對稱.
(2)由(Ⅰ)有f(1-x)=-1-f(x)即f(x)+f(1-x)= -1
∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)= -1
則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)="-3  "

下面用數學歸納法證明
當n=1時，左＝3，右＝1，3＞1不等式成立
當n=2時，左＝9，右＝4，9＞4不等式成立
令n=k(k≥2）不等式成立即3ｋ＞ｋ2
則ｎ＝ｋ＋1時，左＝3ｋ＋1＝3·3ｋ＞3·ｋ2
右＝（ｋ＋1）2＝ｋ2＋2ｋ＋1
∵3ｋ2－（ｋ2＋2ｋ＋1）＝2ｋ2－2ｋ－1＝2（ｋ－0.5）2－1.5
當ｋ≥2，ｋ∈N時，上式恒為正值
則左＞右，即3ｋ＋1＞（ｋ＋1）2，所以對任何自然數n，總有3ｎ＞ｎ2成立，即對任何自然數n，總有bｎ＞ｎ2成立