Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數.當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當時，車流速度是車流密度x的一次函數．
（1）當時，求函數的表達式；
（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀點的車輛數，單位：輛/每小時）可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.

試題分析：(1)分析可知當時，車流速度為常數所以此時。當時為一次函數，則可設其方程為。再根據已知和列出方程組求.（2）現根據的解析式求出的解析式，所以也是分段函數，需分情況討論當時，此時在上是增函數，所以時最大，當時利用基本不等式（或配方法）求最值。最后比較這兩個最大值的大小取其中最大的一個。
試題解析：解：（1）由題意：當；當
再由已知得
故函數的表達式為
（2）依題意并由（1）可得
當為增函數，故當時，其最大值為60×20=1200；
當時，
當且僅當，即時，等號成立。
所以，當在區間[20，200]上取得最大值.
綜上，當時，在區間[0，200]上取得最大值
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.