Question

已知函數滿足：對任意，都有成立，且時，．
（1）求的值，并證明：當時，；
（2）判斷的單調性并加以證明；
（3）若在上遞減，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）2；（2）函數在上是增函數；（3）

試題分析：（1）用賦值法可求得的值。，則，那么.用賦值法令中的，整理出的關系式，用表示出，因為有的范圍所以可求出的范圍。（2）由（1）知時，，，時，，所以在R上。在R上任取兩個實數并可設，根據已知可用配湊法令在代入上式找出的關系。在比較的大小時，在本題中采用作商法與1比較大小。（3）由（２）知函數在上是增函數。當時，函數在上也是增函數，不合題意故舍。當時在上單調遞減，此時只需的最大值小于等于k即可。
試題解析：（1）令,則,
即,解得或
若，令,則,
與已知條件矛盾.
所以
設，則，那么.
又

，從而．
（２）函數在上是增函數．
設，由（１）可知對任意
且





故，即
函數在上是增函數。
（３）由（２）知函數在上是增函數．
函數在上也是增函數，
若函數在上遞減，
則時，，
即時，．
時，