Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點O，長軸長為2，離心率e＝，過右焦點F的直線l交橢圓于P、Q兩點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OP、OQ為鄰邊的平行四邊形是矩形，求滿足該條件的直線l的方程．

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：解：(1)由已知，橢圓方程可設為．
∵長軸長為,離心率， 即.
∴．所求橢圓方程為．       4分
(2）當直線與軸垂直時，直線的方程為，此時小于，為鄰邊的平行四邊形不可能是矩形．        5分
當直線與軸不垂直時，設直線的方程為．
由   可得．
∴由求根公式可得：.
．   7分
，.
.
因為以為鄰邊的平行四邊形是矩形，所以，
所以..
由,
得，.      10分
所求直線的方程為．    1 2分
點評：解決該試題的關鍵是利用橢圓的性質得到a,b，c的關系式，同時聯立方程組來得到韋達定理，集合向量的數量積公式求解運算，屬于基礎題。