Question

已知函數是定義在區間上的偶函數，且時， （1）.求函數的解析式；（2）.若矩形的頂點在函數的圖像上，頂點在軸上，求矩形的面積的最大值。

Answer 1

（1）f(x)=；（2）當t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6.

（1）當所以f(-x)＝-(-x)²-(-x)+5=-x²+x+5，
又因為f(x)是偶函數，所以f(x)=f(-x)=-x²+x+5，
所以f(x)=
（2）由題意，不妨設Ａ點在第一象限，坐標為(t,-t²-t+5)其中，，
則S(t)=S _ABCD=2t(-t²-t+5)=-2t³-2t²+10t.，
令得（舍去），t₂=1.
當時，所以S(t)在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當t=1時，ABCD的面積取得極大值也是S(t)在上的最大值。
從而當t=1時，矩形ABCD的面積取得最大值6.