【題目】某班有20人參加語文、數學考試各一次，考試按10分制評分，即成績是0到10的整數.考試結果是：（1）沒有0分；（2）沒有兩個同學的語文、數學成績都相同.我們說“同學
比
的成績好”是指“同學的語文、數學成績都不低于”.證明：存在三個同學、、
，使得同學比的成績好，同學比的成績好.
【答案】見解析
【解析】
若同學
比
的成績好，記為
.
原問題等價于證明：存在三個同學、、
，滿足
.
用
表示第
個同學的語文、數學成績
，于是，
，
且等號不同時成立.
因為語文成績
在1到10的整數中取值，對這20個同學的語文成績，由抽屜原理知，下列情形之一必然出現：
情形1：某個分數值，至少有三個人取得，即存在某個
，使得
（其中、
、
兩兩不等）；
情形2：每個分數值，恰好有兩個人取得，即對任意的
，存在不同的、，使得
.
同理，對于數學成績
同樣有兩種情形：
情形
：存在某個
，使得
（其中
、
、
兩兩不等）；
情形
：對任意的
，存在不同的、，使得.
下面進行討論：
對情形1：若
，則由條件（2）知、
、
兩兩不等.
不失一般性，不妨設
，則
，即存在三個同學、、滿足.
對情形同理可證.
對情形：有兩個
，不失一般性，設
，于是，得
，
，且
.
不失一般性，不妨設
，則
.
這時，對于
，若出現情形，則結論成立；若出現情形，則必有兩人得10分.
不妨設為
、
，易知、中至少有一個不取1（否則與條件（2）矛盾）.設為，則
.
所以，
，故結論成立.
對于情形同理可證.
綜上所述，結論成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
是定義在
上的奇函數，且當
時，
.
（1）求函數的解析式；
（2）在給定坐標系下作出函數的圖象，并根據圖象指出的單調遞增區間；
（3）若函數
與函數的圖象有三個公共點，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（1）若
個棱長為正整數的正方體的體積之和等于2005，求
的最小值，并說明理由；
（2）若個棱長為正整數的正方體的體積之和等于
，求的最小值，并說明理由.
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【題目】下列說法：
①將一組數據中的每個數據都加上或減去同一個常數后，方差恒不變；
②設有一個回歸方程
，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；
③線性回歸方程
必過
；
④在一個
列聯表中，由計算得是
，則有
的把握確認這兩個變量間有關系.
其中錯誤的個數是（ ）
本題可以參考獨立性檢驗臨界值表：
| 0.05 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
A.0B.1C.2D.3
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【題目】已知奇函數f（x）
，函數g（θ）＝cos2θ+2sinθ
，θ∈[m，
]．m，b∈R．
（1）求b的值；
（2）判斷函數f（x）在[0，1]上的單調性，并證明；
（3）當x∈[0，1]時，函數g（θ）的最小值恰為f（x）的最大值，求m的取值范圍．
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【題目】階梯水價的原則是“保基本、建機制、促節約”，其中“保基本”是指保證至少80%的居民用戶用水價格不變.為響應國家政策，制訂合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區和城區抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進行調研，得到數據如下（單位：噸）.
郊區：19 25 28 32 34
城區：18 19 21 22 22 23 23 23 24 25 26 27 28 28 28 29 29 31 35 42
（1）在郊區的這5戶居民中隨機抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；
（2）設該城市郊區和城區的居民戶數比為1：5，現將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一階梯的居民用戶用水價格保持不變，試根據樣本總體的思想，分析此方案是否符合國家“保基本”政策.
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