Question

【題目】如圖,在四棱錐中，平面平面，，，，，點在棱上，且.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）是否存在實數，使得二面角的余弦值為？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：(1)由邊長和勾股定理得，又平面平面，由定理證得平面 (2) 建立空間直角坐標系, 得出平面的一個法向量為

，設平面的一個法向量為，由題意計算得出結果

解析：（Ⅰ）過點作交于，

，，

四邊形為正方形，且，

在中，，在中，

又平面平面，平面平面

平面

平面，且

平面

（Ⅱ）

又平面平面，平面平面

平面 ，

以點為坐標原點，、、所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，

假設存在實數使得二面角的余弦值為，令

點在棱上，

設

則，

平面，平面的一個法向量為

設平面的一個法向量為

由得令得

取

化簡得又

存在實數使得二面角的余弦值為.