Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足，

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列{an}中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列；

（3）設(shè)，Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求證．

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為；

（2）證明過(guò)程詳見試題解析；

（3）證明過(guò)程詳見試題解析．

【解析】試題分析：（1）由，知，兩式聯(lián)立可證該數(shù)列為等比數(shù)列，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可求；（2）用反證法來(lái)證明：先假設(shè)數(shù)列{an}中的任意三項(xiàng)成等差數(shù)列，得到偶數(shù)=奇數(shù)，所以假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論正確；（3）證明，分和兩種情況，用放縮法來(lái)證明．

試題解析：（1），

（1）-（2）得又

為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，

（2）假設(shè)中存在三項(xiàng)按某種順序成等差數(shù)列

單增即

同除以得

左端為偶數(shù)，右端為奇數(shù)，矛盾

所以任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列

（3）

當(dāng)時(shí)， ，不等式成立

當(dāng)時(shí)，

綜上 ，對(duì)于一切有成立