Question

【題目】函數.

（1）討論的單調性；

（2）若函數有兩個極值點、，且，求證： .

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：⑴先求出函數的定義域，再求導數，令，討論與0的關系，從而求出函數的單調性⑵若函數有兩個極值點、，且，則必是，得、是的二根，

∴， 給出的關系，下證，構造新函數，證明不等式

解析： 的定義域是， ，

（1）由題設知， ，令，這是開口向上，以為對稱軸的拋物線， ，

①當，即時， ，即在上恒成立.

②當，即時，由得，令， ，則， .

1）當即時， ，故在上， ，即，在上， ，即.

2）當時，即時，

	+	0	-	0	+
	+	0	-	0	+
	遞增		遞減		遞增

綜上：

時， 在上單調遞減，在上單調遞增；

時， 在上單調遞減，在和上單調遞增；

時， 在上單調遞增.

（2）若函數有兩個極值點、，且，

則必是， ，則，

且在上單減，在和上單增，則，

∵、是的二根，

∴，即， ，

∴若證成立，只需證

.

即證

對恒成立，

設

，

，

當時， ， ， ，

故，故在上單增，

故

，

∴

對恒成立，

∴.