Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形為等腰梯形， ∥， ， ，四邊形為正方形，平面平面.

（Ⅰ）若點是棱的中點，求證： ∥平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）見解析

【解析】試題分析: （1）由// ，且，故四邊形為平行四邊形,所以// .所以//平面; （2）因為平面平面，所以平面. 在△中，由余弦定理，得，所以, 如圖,以為原點，以所在直線分別為軸，建立空間坐標系,寫出各點坐標,求出平面的法向量,根據線面角公式求值即可; （3）假設線段上存在點，設，分別求出兩個平面的法向量,令數量積為0,方程無解,故不存在.

試題解析:（Ⅰ）證明：由已知得// ，且.

因為為等腰梯形，所以有// .

因為是棱的中點，所以．

所以// ，且，

故四邊形為平行四邊形,

所以// .

因為平面， 平面，

所以//平面．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：（Ⅱ）因為四邊形為正方形，所以.

因為平面平面，

平面平面，

平面，

所以平面.

在△中，因為， ，

所以由余弦定理，得，

所以．

在等腰梯形中，可得.

如圖,以為原點，以所在直線分別為軸，

建立空間坐標系，

則， ， ， ， ，

所以， ， .

設平面的法向量為，由

所以，取，則，得．

設直線與平面所成的角為，

則，

所以與平面所成的角的正弦值為.　　　　　　　　　

（Ⅲ）線段上不存在點，使平面 平面．證明如下：

假設線段上存在點，設，

則．

設平面的法向量為，由

所以，

取，則，得．

要使平面平面，只需，

即， 此方程無解．

所以線段上不存在點，使平面 平面．