Question

【題目】已知（為自然對數的底數）．

（1）若在處的切線過點，求實數的值；

（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1），，，切線方程為，把點代入①，解得；（2）由可得,令，，利用導數，畫出的圖像，根據的零點對進行分類討論，由此求得.

試題解析：

（1） ∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又∵，

∴在處的切線方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分

把點代入①，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）由可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

令，，

∵，且，，

∴存在，使得，且當時，，當時，．．．．．．．．．．．．．．．5分

（1）當時，，

此時，對任意②式恒成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（2）當時，

∵，

由變形可得，

令，下面研究的最小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴與同號．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

且對成立，

∴函數在上為增函數，

而，

∴時，，∴，

∴函數在上為減函數，

∴，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

（3）當時，

∵，

由變形可得，．．．．．．．．．．③

由（2）可知函數，

∴，

綜合（1）（2）（3）可得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分