Question

經過雙曲線x²-=1的左焦點F₁作傾斜角為的弦AB,求:
(1)|AB|;
(2)△F₂AB的周長(F₂為右焦點).

Answer 1

1、|AB|=2×+2=3.
2、△ABF₂的周長為3+3.

(1)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂).直線AB的方程為y=(x+2).

由消去y得3x²-(x+2)²=3,即8x²-4x-13=0,
∴x₁+x₂=,x₁x₂=-.∴(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=+.
∴|x₁-x₂|=.∴|AB|=·|x₁-x₂|=3.
或者:如圖,知|AB|=|BF₁|-|AF₁|,而|BF₁|=e(x₂+),|AF₁|=e(-x₁-),
∴|AB|=e(x₁+x₂+)=e(x₁+x₂)+2a.
∴|AB|=2×+2=3.
(2)∵|BF₂|=e(x₂-),|AF₂|=e(-x₁),
∴|BF₂|+|AF₂|=e(x₂-x₁)=2×=3.
∴|AB|+|BF₂|+|AF₂|=3+3,故△ABF₂的周長為3+3.