Question

【題目】已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．
（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）已知點B（﹣1，0），設不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線過定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓心C（x，y）（x≠0），過點C作CE⊥y 軸，垂足為E，則|ME|= |MN|，

∴|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2，

∴（x﹣4）2+y2=42+x2，化為y2=8x．

當x=0時，也滿足上式．

∴動圓圓心的軌跡C的方程為y2=8x．

（2）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），

由題意可知y1+y2≠0，y1y2＜0. ， ．

∵x軸是∠PBQ的角平分線，∴kPB=﹣kQB，

∴ ，∴ ，化為8+y1y2=0．

直線PQ的方程為 ，

∴ ，化為 ，

化為 ，

y（y1+y2）+8=8x，令y=0，則x=1，

∴直線PQ過 定點（1，0）

【解析】（1）設圓心C（x，y），過點C作CE⊥y 軸，垂足為E，利用垂徑定理可得|ME|= |MN|，又|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2 ， 利用兩點間的距離公式即可得出．（2）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由題意可知y1+y2≠0，y1y2＜0. ， ．利用角平分線的性質可得kPB=﹣kQB ， 可化為化為8+y1y2=0．又直線PQ的方程為 ，代入化簡整理為y（y1+y2）+8=8x，令y=0，則x=1即可得到定點．