Question

【題目】設O是坐標原點，橢圓C：x2+3y2=6的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 且P，Q是橢圓C上不同的兩點，
（1）若直線PQ過橢圓C的右焦點F2 ， 且傾斜角為30°，求證：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數列；
（2）若P，Q兩點使得直線OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比數列．求直線PQ的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）證明：x2+3y2=6即為 + =1，

即有a= ，b= ，c= =2，

由直線PQ過橢圓C的右焦點F2（2，0），且傾斜角為30°，

可得直線PQ的方程為y= （x﹣2），

代入橢圓方程可得，x2﹣2x﹣1=0，

即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，

由弦長公式可得|PQ|=

= = ，

由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4 ，

可得|F1P|+|QF1|=4 ﹣ = =2|PQ|，

則有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數列；

（2）解：設直線PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程x2+3y2=6，

消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，

則△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）

=12（6k2﹣m2+2）＞0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∵直線OP、PQ、OQ的斜率依次成等比數列，

∴ = =k2，

即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣ +m2=0，

由于m≠0，故k2= ，

∴直線PQ的斜率k為±

【解析】（1）求得橢圓的a，b，c，設出直線PQ的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式可得|PQ|，再由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差數列的中項的性質，可得結論；（2）設出直線PQ的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，由等比數列的中項的性質，結合直線的斜率公式，化簡整理，解方程即可得到直線PQ的斜率．