Question

（2009•淄博一模）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=x²，若對(duì)任意的x∈[-2-

2

，2+

2

]不等式f（x+t）≤2f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A．[

  2

  ，+∞)
• B．(-∞，-

  2

  ]
• C．[4+3

  2

  ，+∞)
• D．(-∞-

  2

  ，]∪[4+3

  2

  ，+∞)

Answer 1

分析：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再化抽象不等式為具體不等式，從而可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0 時(shí)，f（x）=x²
∴當(dāng)x＜0，有-x＞0，f（-x）=（-x）²，
∴-f（x）=x²，即f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2，(x≥0) -x2，(x＜0)

∴對(duì)任意的x∈[-2-

2

，2+

2

]，函數(shù)為增函數(shù)
∵2f（x）=2x²=（

2

x）²=f（

2

x）
∴不等式f（x+t）≤2f（x）等價(jià)于不等式f（x+t）≤f（

2

x）
∴

-2- 2 ≤x+t≤2+ 2 -2- 2 ≤ 2 x≤2+ 2 x+t≤ 2 x

∴

-2- 2 -x≤t≤2+ 2 -x - 2 -1≤x≤ 2 +1 t≤( 2 -1)x

∴t≤-

2

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查利用單調(diào)性處理不等式恒成立問題．將不等式化為（x+t）≤f（

2

x）是解題的關(guān)鍵．