Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．
（I）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；
（II）當(dāng)-2+

3

≤k≤0時(shí)，求折痕長的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)-2≤k≤-1時(shí)，折痕為線段PQ，設(shè)t=k（2|PQ|²-1），試求t的最大值．

Answer 1

分析：（1）分情況討論斜率表示直線的方程
（2）表示出線段后，分類討論求最值
（3）表示線段，用均值不等式求最值

解答：解：（1）①當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程y=

1

2

②當(dāng)k≠0時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn)記為G（a，1），
所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，
有k_OG•k=-1⇒

1

a

•k=-1⇒a=-k
故G點(diǎn)坐標(biāo)為G（-k，1），
從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)
（線段OG的中點(diǎn)）為M(-

k

2

，

1

2

)
折痕所在的直線方程y-

1

2

=k(x+

k

2

)，即y=kx+

k2

2

+

1

2

由①②得折痕所在的直線方程為：y=kx+

k2

2

+

1

2

（2）當(dāng)k=0時(shí)，折痕的長為2；
當(dāng)-2+

3

≤k＜0時(shí)，折痕直線交BC于點(diǎn)P(2，2k+

k2

2

+

1

2

)，交y軸于Q(0，

k2+1

2

)
∵|PQ|2=22+[

k2+1

2

-(2k+

k2

2

+

1

2

)]2=4+4k2≤4+4(7-4

3

)=32-16

3

∴折痕長度的最大值為

32-16 3

=

4(8-4 3 )

=

4( 6 - 2 ) 2

=2(

6

-

2

) 
而2(

6

-

2

)＞2
故折痕長度的最大值為2(

6

-

2

)  
（3）當(dāng)-2≤k≤-1時(shí)，折痕直線交DC于P(

1

2k

-

k

2

，1)，交x軸于Q(-

k2+1

2k

，0)
∵|PQ|2=[-

k2+1

2k

-(

1

2k

-

k

2

)]2+1=

1

k2

+1
∴t=k(2|PQ|2-1)=k+

2

k

∵-2≤k≤-1
∴k+

2

k

≤-2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)k=-

2

∈(-2，-1)時(shí)取“=”號(hào)）
∴當(dāng)k=-

2

時(shí)，t取最大值，t的最大值是-2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考察內(nèi)容比較綜合，考察了求直線方程、求函數(shù)的最值、均值不等式、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想，屬難題