Question

【題目】設a，b，c，d均為正數，且a+b=c+d，證明：
（1）若ab＞cd，則 + ＞ + ；
（2） + ＞ + 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要條件．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由于（ + ）2=a+b+2 ，

（ + ）2=c+d+2 ，

由a，b，c，d均為正數，且a+b=c+d，ab＞cd，

則 ＞ ，

即有（ + ）2＞（ + ）2，

則 + ＞ +

（2）證明：①若 + ＞ + ，則（ + ）2＞（ + ）2，

即為a+b+2 ＞c+d+2 ，

由a+b=c+d，則ab＞cd，

于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，

（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，

即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即為|a﹣b|＜|c﹣d|；

②若|a﹣b|＜|c﹣d|，則（a﹣b）2＜（c﹣d）2，

即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，

由a+b=c+d，則ab＞cd，

則有（ + ）2＞（ + ）2．

綜上可得， + ＞ + 是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要條件

【解析】（1）運用不等式的性質，結合條件a，b，c，d均為正數，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得證；（2）從兩方面證，①若 + ＞ + ，證得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，證得 + ＞ + ，注意運用不等式的性質，即可得證．
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．