Question

【題目】給定橢圓 C : ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓 C 的“伴隨圓”.若橢圓 C 的一個焦點為 F1(, 0) ，其短軸上的一個端點到 F1 的距離為

（1）求橢圓 C 的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）若傾斜角 45°的直線 l 與橢圓 C 只有一個公共點，且與橢圓 C 的伴隨圓相交于 M .N 兩點，求弦 MN 的的長；

（3）點 P 是橢圓 C 的伴隨圓上一個動點，過點 P 作直線 l1、l2，使得 l1、l2與橢圓 C 都只有一個公共點，判斷l1、l2的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程：；伴隨圓方程： x2 y2 1 ；（2） 2；（3）垂直，（斜率乘積為 1 ，分斜率存在與否）

【解析】

（1）直接由橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到F1的距離為，求出，即可求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）先把直線方程與橢圓方程聯立，利用對應的判別式為0求出，進而求出直線方程以及圓心到直線的距離；即可求弦MN的長；

（3）先對直線l1，l2的斜率是否存在分兩種情況討論，然后對每一種情況中的直線l1，l2與橢圓C都只有一個公共點進行求解即可證：l1⊥l2．（在斜率存在時，是先設直線方程，把直線與橢圓方程聯立，利用斜率為對應方程的根來判斷結論）．

解：（1）因為，所以b＝1

所以橢圓的方程為，

伴隨圓的方程為x2+y2＝4．

（2）設直線l的方程y＝x+b，由得4x2+6bx+3b2﹣3＝0

由△＝（6b）2﹣16（3b2﹣3）＝0得b2＝4

圓心到直線l的距離為

所以

（3）①當l1，l2中有一條無斜率時，不妨設l1無斜率，

因為l1與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

當l1方程為時，此時l1與伴隨圓交于點，

此時經過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是y＝1（或y＝﹣1），

即l2為y＝1（或y＝﹣1），顯然直線l1，l2垂直；

同理可證l1方程為時，直線l1，l2垂直．

②當l1，l2都有斜率時，設點P（x0，y0），其中x02+y02＝4，

設經過點P（x0，y0），與橢圓只有一個公共點的直線為y＝k（x﹣x0）+y0，

由，消去y得到x2+3（kx+（y0﹣kx0））2﹣3＝0，

即（1+3k2）x2+6k（y0﹣kx0）x+3（y0﹣kx0）2﹣3＝0，

△＝[6k（y0﹣kx0）]2﹣4（1+3k2）[3（y0﹣kx0）2﹣3]＝0，

經過化簡得到：（3﹣x02）k2+2x0y0k+1﹣y02＝0，

因為x02+y02＝4，所以有（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0，

設l1，l2的斜率分別為k1，k2，因為l1，l2與橢圓都只有一個公共點，

所以k1，k2滿足方程（3﹣x02）k2+2x0y0k+（x02﹣3）＝0，

因而k1k2＝﹣1，即l1，l2垂直．