Question

已知橢圓M的兩個焦點分別為F₁(-1，0)、F₂(1，0)，P是此橢圓上的一點，且

=0，=8．

(Ⅰ)求橢圓M的方程；

(Ⅱ)點A是橢圓M短軸的一個端點，且其縱坐標大于零，B、C是橢圓M上不同于點A的兩點．若△ABC的重心是橢圓M的右焦點，求直線BC的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)設||=m，||=n，由已知可得nm=8．

由·=0，可得PF₁⊥PF₂.則m²+n²=4.

∴(m+n)²=m²+n²+2mn=20．

即(2a)²=20，得a²=5

∴b²=a²-c²=4．

故橢圓M的方程為=1．

(Ⅱ)設B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，直線BC的斜率為k，BC中點為(x₀，y₀)，F(1，0)．

顯然BC不會與x軸垂直，故x₁≠x₂．

則=1．      ①

=1．       ②

①-②

.③

由于F(1，0)是△ABC的重心，

所以=1，得x₀=.

=0，得y₀==-1．

代入③得    k=．

∴直線BC的方程為  6x-5y-14=0．