Question

已知橢圓的兩焦點在軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成斜邊長為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

（1）橢圓方程為；（2）存在定點，使以AB為直徑的圓恒過點 

試題分析：（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜邊長為2，即，故，由此可得橢圓方程 （2）首先考慮與坐標軸平行的特殊情況，當與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為；當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為，解方程組求出這兩個圓的交點：
若存在定點Q,則Q的坐標只可能為 
接下來就一般情況證明為所求 設直線，則，將與橢圓方程聯立，利用韋達定理得：，代入上式證明其等于0即可
試題解析：（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,
又斜邊長為2,即故,
橢圓方程為                                  （4分）
（2）當與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為;
當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為
,故若存在定點Q,則Q的坐標只可能為    （6分）
下證明為所求:
若直線斜率不存在,上述已經證明 設直線,
,
,                           （8分）

       （10分）

,即以AB為直徑的圓恒過點                  （13分）
注: 此題直接設,得到關于的恒成立問題也可求解